เรขาคณิตวิเคราะห์

เรขาคณิตวิเคราะห์
ในการศึกษาเรื่องเรขาคณิตวิเคราะห์ เราจะทำการศึกษาเกี่ยวกับคุณสมบัติของจุด และเส้นตรงโดยอ้างอิงกับระบบพิกัดฉากเป็นหลัก

ระบบพิกัดฉาก ประกอบด้วย แกนพิกัดฉาก 2 แกน ได้แก่ เส้นจำนวนที่อยู่บนแกนนอน (แกน x) และเส้นจำนวนที่อยู่บนแกนตั้ง (แกน y) แกนพิกัดฉากทั้งสองนี้จะแบ่งพื้นระนาบออกเป็น 4 ส่วน เรียกพื้นที่ที่ถูกแบ่งออกเป็นส่วนๆ นี้ว่า "ควอดรันต์" (Quadrant) ซึ่งมีลักษณะดังรูป

แกน x และ แกน y ตัดกันเป็นมุมฉากที่จุด 0 เรียกจุดนี้ว่า "จุดกำเนิด" (origin) และเขียนแทนตำแหน่งของจุดบนระบบพิกัดฉากด้วย (x, y) เมื่อ x เป็นค่าที่อ่านได้จากเส้นจำนวนบนแกน x และ y เป็นค่าที่อ่านได้จากเส้นจำนวนบนแกน y

ระยะห่างระหว่างจุด
พิจารณารูปที่กำหนดให้ต่อไปนี้

จากทฤษฎีบทปิทาโกรัส จะได้ว่า
P1P2 =

P1P2 =

P1P2 =

นั่นคือ ถ้า P1 (x1, y1)และ P2 (x2, y2) เป็นจุดในระบบพิกัดฉากแล้ว
ระยะห่างระหว่างจุด P1 และ P2 =

ความชันของเส้รตรง
พิจารณารูปที่กำหนดให้ต่อไปนี้

ถ้ากำหนดให้ m เป็นความชันของเส้นตรง L ที่ลากผ่านจุด P1( x1, y1) และ P2( x2, y2) แล้ว
ความชัน m =

เราสามารถนำเอานิยามของความชันที่กล่าวมาข้างต้นไปใช้ในการอธิบายคุณสมบัติของเส้นตรง
สองเส้นที่ขนานและตั้งฉากกันได้ดังนี้

เส้นขนาน
ทฤษฎีบท เส้นตรงสองเส้นที่ไม่ขนานกับแกน y จะขนานกัน ก็ต่อเมื่อ ความชันของเส้นตรงทั้งสองเท่ากัน

เส้นตั้งฉาก
ทฤษฎีบท เส้นตรงสองเส้นที่ไม่ขนานกับแกน y จะตั้งฉากกัน ก็ต่อเมื่อ ผลคูณของความชันของเส้นตรงทั้งสองเท่ากับ -1

สมการของกราฟเส้นตรง
1. สมการของกราฟเส้นตรงที่ขนานกับแกน x
กำหนดให้ L เป็นเส้นตรงที่ขนานกับแกน x ดังนั้น เส้นตรง L ย่อมตั้งฉากกับแกน y และกำหนดให้เส้นตรง L ตัดแกน y ที่จุด (0, b)
ถ้า b > 0 เส้นตรง L จะอยู่เหนือแกน x และห่างจากแกน x เป็นระยะ |b| หน่วย
ถ้า b = 0 เส้นตรง L จะทับแกน x
ถ้า b < 0 เส้นตรง L จะอยู่ใต้แกน x และห่างจากแกน x เป็นระยะ |b| หน่วย สมการของกราฟเส้นตรงที่ขนานกับแกน x คือ y = b ตัวอย่างเช่น (1) เส้นตรงที่ขนานกับแกน x และอยู่เหนือแกน x เป็นระยะ 5 หน่วย มีสมการเป็น y = 5 (2) เส้นตรงที่ขนานกับแกน x และทับแกน x มีสมการเป็น y = 0 (3) เส้นตรงที่ขนานกับแกน x และอยู่ใต้แกน x เป็นระยะ 5 หน่วย มีสมการเป็น y = -5

2. สมการของกราฟเส้นตรงที่ขนานกับแกน y
กำหนดให้ L เป็นเส้นตรงที่ขนานกับแกน y ดังนั้น เส้นตรง L ย่อมตั้งฉากกับแกน x และกำหนดให้เส้นตรง Lตัดกับแกน x ที่จุด (a, 0)
ถ้า a > 0 เส้นตรง L จะอยู่ทางขวาของแกน y และห่างจากแกน y เป็นระยะ |a| หน่วย
ถ้า a = 0 เส้นตรง L จะทับแกน y
ถ้า a < 0 เส้นตรง L จะอยู่ทางซ้ายของแกน y และห่างจากแกน y เป็นระยะ |a| หน่วย สมการของกราฟเส้นตรงที่ขนานกับแกน y คือ x = a ตัวอย่างเช่น (1) เส้นตรงที่ขนานกับแกน y และอยู่ทางขวาของแกน y เป็นระยะ 5 หน่วย มีสมการเป็น x = 5 (2) เส้นตรงที่ขนานกับแกน y และทับแกน y มีสมการเป็น x = 0 (3) เส้นตรงที่ขนานกับแกน y และอยู่ทางซ้ายของแกน y เป็นระยะ 5 หน่วย มีสมการเป็น x = -5

3. สมการของกราฟเส้นตรงที่ไม่ขนานกับแกน x และไม่ขนานกับแกน y
กำหนดให้ L เป็นเส้นตรงที่ไม่ขนานกับแกน x และไม่ขนานกับแกน y มีความชัน = m และผ่านจุด (x1, y1)

จากรูปให้ (x, y) เป็นจุดใดๆบนเส้นตรง L
∴ ความชันของเส้นตรง L ที่ลากผ่านจุด (x1, y1) และ (x, y) เท่ากับ
∴ = m
y - y1 = m(x - x 1)
ดังนั้นสมการของกราฟเส้นตรงที่มีความชัน m และผ่านจุด (x1, y1) คือ y - y1 = m(x - x 1)
ตัวอย่างเช่น
(1) สมการของกราฟเส้นตรงที่มีความชันเท่ากับ และผ่านจุด (1, 2) คือ
y - 2 = (x-1)

หรือ 2x - 3y +4 = 0

ระยะห่างระหว่างเส้นตรงกับจุดและระยะห่างระหว่างเส้นคู่ขนาน

ระยะห่างระหว่างเส้นตรงกับจุด
ถ้ากำหนดให้ระยะทางระหว่างจุด P(x1, y1) ไปยังเส้นตรง Ax + By + C = 0 เท่ากับ d
ระยะห่างระหว่างเส้น ตรง Ax + By + C = 0 กับจุด (x1, y1) คือ d =

ระยะห่างระหว่างเส้นคู่ขนาน
กำหนดเส้นตรง Ax + By + C1 = 0 และเส้นตรง Ax + By + C2 = 0 ขนานกัน
ระยะห่างระหว่างเส้น ตรง Ax + By + C = 0 กับจุด (x1, y1) คือ d =

ขอบขอบคุณที่มาจาก http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/index.html