ความสัมพันธ์

คู่อันดับและผลคูณอาร์ทีเซียน
• คู่อันดับ
คู่อันดับประกอบด้วยสมาชิก 2 ตัว เขียนแทนคู่อันดับในรูป (a,b) โดยที่ a เป็นสมาชิกตัวหน้าและ b เป็นสมาชิกตัวหลัง อันดับของสมาชิกถือว่าสำคัญ กล่าวคือการสลับที่กันระหว่างสมาชิกทั้งสองอาจทำให้ความหมายของคู่อันดับเปลี่ยนไปได้

สมบัติของคู่อันดับ
1. (a,b) = (b,a) ก็ต่อเมื่อ a = b
2. ถ้า (a,b) = (c,d) แล้วจะได้ a = c และ b = d
3. ถ้า (a,b) ≠ (c,d) แล้วจะได้ a ≠ c หรือ b ≠ d

• ผลคูณคาร์ทีเซียน
ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และเซต B คือเซตของคู่อันดับ (a,b) ทั้งหมดซึ่ง a เป็นสมาชิกของเซต A และ b เป็นสมาชิกของเซต B และเขียนแทนด้วย A× B

นั่นคือ A× B = { (a,b) | a E A และ b E B }
สมบัติของผลคูณคาร์ทีเซียน
กำหนด A, B และ C เป็นเซตใดๆ แล้ว

1.A× B ไม่จำเป็นต้องเท่ากับ B × A
A× B = B × A ก็ต่อเมื่อ A = B หรือ A = Ø หรือ B = Ø
A× B ≠ B × A ก็ต่อเมื่อ A ≠ B ≠ Ø
2. A × Ø = Ø × A = Ø
3. A × ( B ∪ C )= (A× B) ∪(A × C)
(A ∪ B) × C = (A× C) ∪(B × C)
4. A × ( B ∩ C ) = (A× B) ∩ (A × C)
(A ∩ B) × C = (A× B) ∩ (B × C)
5. A × ( B - C ) = (A× B) - (A × C)
(A - B) × C ) = (A× C) - (B × C)
6. ถ้า A ⊂ B แล้ว A × C ⊂ B × C
7. ถ้า A และ B เป็นเซตจำกัดแล้ว n( A × B ) = n(A) × n(B)
8. ถ้่า A เป็นเซตอนันต์ และ B เป็นเซตจำกัด ซึ่ง B ≠ Ø แล้ว A × B เป็นเซตอนันต์

ความสัมพันธ์ โดเมน และเรนจ์ของความสัมพันธ์
• ความสัมพันธ์
กำหนด A และ B เป็นเซตใดๆ แล้ว r เป็นความสัมพันธ์ จากเซต A ไปเซต B ก็ต่อเมื่อ r เป็นสับเซตของ A× B
และ ถ้า r เป็นสับเซตของ A× A แล้ว r เป็นความสัมพันธ์ในเซต A

ตัวอย่างเช่น กำหนด A = {1, 2, 3}, B = { 0, 2, 4} และ r = { (x,y) ∈ A× B | y = 2x }

∴r = { (1,2), (2,4) }
หมายเหตุ (x, y) ∈ r อาจเขียนแทนด้วย x r y

โดเมน และเรนจ์ของความสัมพันธ์
กำหนด r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B
โดเมนของ r คือ เซตของสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับใน r เขียนแทนด้วย Dr

Dr = { x | (x, y) } ∈ r
เรนจ์ของ r คือ เซตของสมาชิกตัวหลังของคู่อันดับใน r เขียนแทนด้วย Rr

Rr = { y | (x, y) } ∈ r

หลักการหาโดเมน และเรนจ์ของความสัมพันธ์ เมื่อกำหนด r แบบบอกเงื่อนไขมาให้
1. เมื่อต้องการหาโดเมน ให้จัด y ให้อยู่ในรูปของ x แล้วพิจารณาค่า x ทั้งหมดที่ทำให้ y หาค่าได้ และ (x,y) ∈ r
2. เมื่อต้องการหาเรนจ์ ให้จัด x ให้อยู่ในรูปของ y แล้วพิจารณาค่า y ทั้งหมดที่ทำให้ x หาค่าได้ และ (x,y) ∈ r
ตัวอย่างเช่น กำหนด r = { (x,y) ∈ R× R | }

1. หา Dr :

นั่นคือ y หาค่าได้เมื่อ x-2 ≠ 0
∴ Dr = R - {2} = { x | x ≠ 2 }

2. หา R r :

นั่นคือ x หาค่าได้เมื่อ y ≠ 0
∴ Rr = R - {0} = { y | y ≠ 0 }

กราฟของความสัมพันธ์

ในระบบแกนมุมฉาก เราสามารถจับคู่หนึ่งต่อหนึ่ง ระหว่างคู่อันดับของจำนวนจริง (x, y) กับพิกัดของจุดบนระนาบ โดยให้ x เป็นพิกัดแรก และ y เป็นพิกัดหลัง จากหลักการดังกล่าวทำให้เราสามารถเขียนกราฟของความสัมพันธ์ได้ดังนี้
บทนิยาม
ให้ R เป็นเซตของจำนวนจริง และ r เป็นสับเซตของ R× R กราฟของความสัมพันธ์ r คือ เซตของจุดบนระนาบ โดยที่แต่ละจุดแทนสมาชิกของความสัมพันธ์ R

ตัวอย่างที่ 1 จงเขียนกราฟของความสัมพันธ์
r = { (x,y) ∈ A × A | x + y = 5} เมื่อกำหนดให้
A = {1, 2, 3, 4}
วิธีทำ r = {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)}

ตัวอย่างที่ 2 จงเขียนกราฟของความสัมพันธ์
วิธีทำ r = { (x,y) ∈ R × R | y = x - 1}

ตัวอย่างที่ 3 จงเขียนกราฟของความสัมพันธ์
วิธีทำ r = { (x,y) ∈ R × R | -1 < y ≤ 2 }

ตัวอย่างที่ 4 จงเขียนกราฟของความสัมพันธ์
วิธีทำ r = { (x,y) ∈ I × I | x + y < 1}

อินเวอร์สของความสัมพันธ์
อินเวอร์สของความสัมพันธ์ r คือ ความสัมพันธ์ซึ่งเกิดจากการสลับตำแหน่งของสมาชิกตัวหน้า และสมาชิกตัวหลัง ในแต่ละคู่อันดับที่เป็นสมาชิกของ r เขียนแทนด้วย r-1

การสลับตำแหน่งของสมาชิกตัวหน้า และสมาชิกตัวหลัง ทำได้ 2 วิธี ดังนี้
วิธีที่ 1 สลับที่ x และ y ในคู่อันดับ (x, y) แต่มีเงื่อนไขเหมือนเดิม
ตัวอย่างเช่น r = {(x, y) ∈ R × R | y = 3x – 1}

∴r-1 = {(y, x) ∈ R × R | y = 3x – 1}
วิธีที่ 2 สลับที่ x และ y ในคู่อันดับ (x, y) โดยแทนที่ x ด้วย y และแทนที่ y ด้วย x แต่ คู่อันดับ (x, y ) เหมือนเดิม
ตัวอย่างเช่น r = {(x, y) ∈ R × R | y = 3x – 1}
r-1 = {(x, y) ∈ R × R | x = 3y – 1}

∴r-1 = {(x, y) ∈ R × R | y=x+1/3 }

สมบัติเกี่ยวกับอินเวอร์สของความสัมพันธ์

ถ้า r เป็นความสัมพันธ์จากเซต A ไปเซต B

1. r-1เป็นความสัมพันธ์จากเซต B ไปเซต A
2. D r = R r-1 และ R r = D r-1

กราฟของอินเวอร์สของความสัมพันธ์

เราสามารถวาดกราฟของอินเวอร์สของความสัมพันธ์ได้ 2 วิธีด้วยกัน ดังนี้

วิธีที่ 1
1. หาอินเวอร์สของความสัมพันธ์ r-1
2.วาดกราฟของอินเวอร์สของความสัมพันธ์ โดยใช้เงื่อนไขที่ระบุใน r-1
ตัวอย่างเช่น
r = {(x, y) ∈ R × R | y = | x | + 2}

∴r-1 = {(x, y) ∈ R × R | x = | y | + 2}

วิธีที่ 2
1.วาดกราฟของความสัมพันธ์ r
2.กราฟของอินเวอร์สของความสัมพันธ์ คือภาพสะท้อนของกราฟของความสัมพันธ์ r รอบแกน x = y

ขอบขอบคุณที่มาจาก http://www.thaigoodview.com/library/contest2551/math04/07/2/BasicMathForM4/index.html