ฟังก์ชัน

ฟังก์ชัน คือ ความสัมพันธ์ซึ่งในสองคู่อันดับใดๆ ของความสัมพันธ์นั้น ถ้าสมาชิกตัวหน้าเหมือนกันแล้ว สมาชิกตัวหลังต้องไม่ต่างกัน
นั่นคือ
ถ้า (x1,y1) ∈ r และ (x1,y2) ∈ r แล้ว y1= y2
หลักในการพิจารณาว่าความสัมพันธ์เป็นฟังก์ชันหรือไม่
1. ถ้าความสัมพันธ์นั้นอยู่ในรูปแจกแจงสมาชิก ให้ดูว่าสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับซ้ำกันหรือไม่ ถ้าสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับซ้ำกัน แสดงว่าความสัมพันธ์นั้นไม่เป็นฟังก์ชัน
2. ถ้าความสัมพันธ์นั้นอยู่ในรูปของการกำหนดเงื่อนไขสมาชิก
r = {(x,y) ∈ A× B | P(x,y) } ให้แทนค่าแต่ละสมาชิกของ x ลงในเงื่อนไข P(x,y) เพื่อหาค่า y ถ้ามี x ตัวใดที่ให้ค่า y มากกว่า 1 ค่า แสดงว่าความสัมพันธ์นั้นไม่เป็นฟังก์ชัน
3. พิจารณาจากกราฟของความสัมพันธ์ โดยการลากเส้นตรงขนานกับแกน y ถ้าเส้นตรงดังกล่าวตัดกราฟของความสัมพันธ์มากกว่า 1 จุด แสดงว่าความสัมพันธ์นั้นไม่เป็นฟังก์ชัน

ฟังก์ชันจาก A ไป B
• ฟังก์ชันจาก A ไป B
f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนคือเซต A และเรนจ์เป็นสับเซตของเซต B เขียนแทนด้วย f : A → B
• ฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B
f เป็นฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B ก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซต A และเรนจ์เป็นของเซต B เขียนแทนด้วย f : A B
• ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไป B
f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B ซึ่งถ้า y ∈ R f
แล้วมี x ∈ Df เพียงตัวเดียวเท่านั้นที่ทำให้ (x,y) ∈ f เขียนแทนด้วย f : B
หรืออาจกล่าวอย่างง่ายๆได้ว่า f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ก็ต่อเมื่อสำหรับ x1และ x2 ในโดเมน ถ้า
f( x1) = f( x2) แล้ว x1 = x2
• ฟังก์ชันเพิ่ม ฟังก์ชันลด
ให้ f เป็นฟังก์ชันจากสับเซตของ R× R และ A ⊂ Df
♦ f เป็นฟังก์ชันเพิ่มใน A ก็ต่อเมื่อ สำหรับสมาชิก x1 และ x2 ใดๆ ใน A

ถ้า x1 < x2 แล้ว f( x1) < f( x2) ♦ f เป็นฟังก์ชันลดใน A ก็ต่อเมื่อ สำหรับสมาชิก x1 และ x2 ใดๆ ใน A ถ้า x1 < x2 แล้ว f( x1) > f( x2)

ฟังก์ชันอินเวอร์ส
เนื่องจากฟังก์ชัน คือ รูปแบบหนึ่งของความสัมพันธ์ ดังนั้น การหาอินเวอร์สของฟังก์ชันจึงหาได้ เช่นเดียวกับการหาอินเวอร์สของความสัมพันธ์ เพียงแต่อินเวอร์สของฟังก์ชันไม่จำเป็นต้องเป็นฟังก์ชันเสมอไป

ตัวอย่างเช่น กำหนด f = {(1,2) ,(2,3) ,(3,4)}

∴f-1 = {(2,1) ,(3,2) ,(4,3)} เป็นฟังก์ชัน
กำหนด g= {(1,2) ,(2,3) ,(4,2)}

∴g-1 = {(2,1) ,(3,2) ,(2,4)} ไม่ เป็นฟังก์ชัน
เรียกอินเวอร์สของฟังก์ชันที่เป็นฟังก์ชันว่า "ฟังก์ชันอินเวอร์ส" จากตัวอย่างข้างต้นจะเห็นว่า ฟังก์ชันที่จะมีฟังก์ชันอินเวอร์สได้ จะต้องเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง
สมบัติของฟังก์ชันอินเวอร์ส

กำหนดให้ f เป็นฟังก์ชัน
1. f - 1 เป็นฟังก์ชัน เมื่อ f เป็นฟังก์ชัน 1-1
2. Df = R f - 1 และ Rf = Df - 1

ฟังก์ชันคอมโพสิท
ให้ f และ g เป็นฟังก์ชัน และ R f ∩ Dg≠ Ø ฟังก์ชันคอมโพสิทของ f และ g เขียนแทนด้วย gof กำหนดโดย (gof)(x) = g(f(x)) สำหรับทุก x ซึ่ง f(x) ∈ Dg

ตัวอย่างที่ 1 ให้ f: A → B และ g : B → C ดังแสดงในแผนภาพ

f = {(1,5), (2,4), (3,6)} และ
g = {(4,7), (5,7), (6,8)}
(gof)(1) = g(f(1)) = g(5) = 7
(gof)(2) = g(f(2)) = g(4) = 7
(gof)(3) = g(f(3)) = g(6) = 8
∴ gof = {(1,7), (2,7), (3,8)} และ Dgof = A
ข้อสังเกต จากตัวอย่างที่ 1 จะเห็นว่าไม่มี fog เพราะ R f ∩ Dg=Ø

พีชคณิตของฟังก์ชัน
กำหนดให้ f และ g เป็นฟังก์ชันในเซตของจำนวนจริง
f + g = { (x, y) | y = f(x) + g(x) และ x ∈ D f ∩ Dg }
f - g = { (x, y) | y = f(x) - g(x) และ x ∈ D f ∩ Dg }
f · g = { (x, y) | y = f(x) · g(x) และ x ∈ D f ∩ Dg }


= { (x, y) | y = และ x ∈ D f ∩ Dg และ g(x) ≠ 0 }

จากบทนิยามจะได้ f + g (x) = f(x) + g(x) ซึ่ง x ∈ D f ∩ Dg
f - g (x) = f(x) - g(x) ซึ่ง x ∈ D f ∩ Dg
f · g (x) = f(x) · g(x) ซึ่ง x ∈ D f ∩ Dg
(x) = ซึ่ง x ∈ D f ∩ Dg และ g(x) ≠ 0