สมการและอสมการ

สมการและอสมการ
สมการและอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
นิยาม1 สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว คือ สมการที่มีตัวแปรหรือตัวไม่ทราบค่า (unknow) และเลขชี้กำลังของตัวแปรเป็น 1 ตัวแปรอาจปรากฎเพียงข้างใดข้างหนึ่งของเครื่องหมาย “ = ” หรือ ปรากฏทั้งสองข้างแต่เมื่อจัดรูปให้อยู่ในรูปผลสำเร็จโดยมี x เป็นตัวแปร a , b เป็นค่าคงตัว และ a 0 จะอยู่ในรูปแบบสมการเป็น


ax + b = 0


สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว จะมีค่าคำตอบเพียงค่าเดียวเท่านั้น คือ จำนวนที่เมื่อนำไปแทนค่าตัวแปรในสมการแล้วทำให้สมการนั้นเป็นจริง บางครั้งจะเรียกคำตอบของสมการว่า รากของสมการ
คำสั่งของโจทย์ประเภทนี้มักใช้คำว่า จงแก้สมการ จงหาค่า x (ตัวแปรในสมการ) จงหารากของสมการหรือจงหารคำตอบของสมการ
สมการ 2 สมการจะสมมูลกันก็ต่อเมื่อคำตอบของสมการ ทั้งสองต้องเท่ากัน


1. การแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
การแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ต้องอาศัยสมบัติการเท่ากันของจำนวนที่ว่า จำนวน 2 จำนวน ที่เท่ากันเมื่อเพิ่มหรือตัดออกเท่ากันย่อมเท่ากัน
ตัวอย่างที่ 1 จงหาคำตอบของสมการ 2x – 5 = 8
วิธีทำ จากสมการ 2x – 5 = 8
จะได้ 2x – 5 + 5 = 8+5 (นำ 5 ไปบวกทั้งสองข้าง)
x + 7 = 9
จะได้ x + 7 – 7 = 9 –7 (นำ -7 ไปบวกทั้งสองข้าง)
3x = 15
1/3* 3x = 15*1/3 (นำ 1/3 ไปคูณทั้งสองข้าง)
(1)x = 5
x = 5นั่นคือ x = 5


2. โจทย์สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
โจทย์ประเภทนี้จะมีข้อความที่ไม่ทราบค่าปรากฏอยู่ และข้อความที่เกี่ยวข้องกับข้อความอื่น ๆ อีกหลายข้อความในโจทย์นั้น ซึ่งอาจมีความสัมพันธ์กับข้อความนั้น ๆ โดยตรงหรือโดยอ้อม การแก้ปัญหาเกี่ยวกับโจทย์สมการก็คือการหาคำตอบของโจทย์นั่นเอง โดยวิธีการกำหนดตัวแปรแทนข้อความที่ไม่ทราบค่านั้น (นิยมใช้ x เป็นตัวแปร) แล้วเขียนข้อความอื่น ๆ ในรูปของ x นี้ สร้างสมการขึ้นมา


ตัวอย่างเช่น ก มีเงินมากกว่า ข อยู่ 12 บาท ก กับ ข มีเงินรวมกัน 88 บาท ก มีเงินเท่าไหร่
วิธีทำ ให้ ก มีเงิน x บาท จะได้ ข มีเงิน x – 12 บาท
ก และ ข มีเงินรวมกัน 88 บาท
สมการคือ
x + (x-12)=88
            2x=88+12
            2x=100
              x=100/2
              x=50


นั่นคือ ก มีเงิน 50 บาท


3. อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
นิยาม 2
อสมการ เป็นประโยคสัญลักษณ์ที่มีเครื่องหมาย > , < , ≤ , ≥ หรือ ≠ เช่น 3x - 2 < 5 , 2x - 1 ≠ 8 - 5 ≤ 2x + 1 < 3 คำตอบของสมการคือ จำนวนทุกจำนวนที่นำไปแทนค่าตัวแปรในอสมการนั้น แล้วทำให้อสมการนั้นเป็นจริง อสมการที่สมมูลกัน จะต้องมีคำตอบเหมือนกันทุกค่า สมบัติเกี่ยวกับการไม่เท่ากัน สำหรับการบวก และ การคูณ จะนำมาใช้ในการแก้อสมการ ดังนี้ เมื่อกำหนด a , b , c เป็นจำนวนจริงใด ๆ 

                1.  ถ้า    a  <  b    แล้ว        a  +  c  <  b  +  c

                2.  ถ้า     a  <  b    แล้ว        a  -  b  <  0

                3.  ถ้า     a  <  b    แล้ว        ac  <  bc                      เมื่อ c  >  0

                     แต่ถ้าa  <  b   แล้ว        ac  >  bc                      เมื่อ c  <  0

      4.  ถ้า     a  >  b    แล้ว        a  +  c  >  b +  c

                5.  ถ้า     a  >  b    แล้ว        a  -  b  >  0

                6.  ถ้า     a  >  b    แล้ว        ac  >  bc      เมื่อ    c  >  0

                                                                ac  <  bc      เมื่อ    c  <  0

  ข้อควรระวัง    เมื่อนำจำนวนลบคูฯตลอดอสมการ  ต้องเปลี่ยนเครื่องหมาย  “ < ”  เป็น 

“  > ”    หรือเปลี่ยนเครื่องหมาย  “  > ”  เป็น  “ < ”

                                เช่น                        3x  -  8    <  1  +  5x

                                                                3x  -  5x  <  1  +  8

                                                                        -2x  <  9

                                นำ   -1/2  คูณตลอดอสมการ  จะได้  ;    x->2/9